Родился наш герой в 1950 г. Родители мальчика были обычными работягами. Мама трудилась в поле, а папа заготавливал лес. Но спустя время отец ушел из семьи, к другой женщине. Мать будущего актера тоже не осталась одна и вскоре тоже вступила в брак.
После школы парень поступил в сельскохозяйственный техникум, окончив который отправился работать мелиоратором. Спустя время Анатолий поступил в Институт культуры, однако из-за его природной скромности, преподаватели не пророчили ему успеха в кино.
После получения диплома, наш герой поступил на службу в театр города Кокчетав. Параллельно с работой в театре, Анатолий стал увлекаться поэзией и музыкой. В 80-х он решился на переезд в Питер, однако там его не хотели принимать ни в один театр.
Впервые на экранах Сливников появился в 1982 г. Он сыграл в фильме «Остров сокровищ». Потом последовали еще несколько работ в кино, однако первую популярность ему принесла картина «Блондинка за углом». Сейчас на счету актера 70 ролей в кино.
Вот несколько работ с участием нашего героя: «Противостояние», «Асса», «Собачье сердце», «Окно в Париж», «Убойная сила», «Иди и смотри» и др.
В 1978 г. Анатолий женился на прекрасной девушке по имени Валентина. Спустя 4 года супруга подарила любимому чудесного сына Мишу, который в будущем пошел по стопам отца и стал актером. К сожалению, Сливников покинул этот мир в 2005 г. На тот момент ему было всего 55 лет…