Детские годы Алексея Кожевникова пришлись как раз на время Великой Отечественной. Не было времени играть в игрушки или ходить на кружки, нужно было выживать.
После войны, еще во время обучения в школе, мальчику пришлось пойти работать, потому что денег семье не хватало. После школы он поступил в механический институт, чтобы получить профессию, но душа лежала к искусству. Тайком он ходил в дом культуры, на занятия актерским мастерством, и однажды его заметили и пригласили в кино.
Дебютной его работой стал фильм «Первый эшелон», во время съемок которого Алексей понял, что будет актером. Пришлось выбирать: работать по профессии или идти туда, к чему лежит душа. И он выбрал актерство.
В основном все герои, которых играл Кожевников, были стеснительные, странные, замкнутые. Немного от этих образов было и в самом Алексее. Но именно благодаря своему наивному взгляду на мир он так нравился режиссерам.
Роль Тараса в «Королеве бензоколонки» принесла Алексею настоящую популярность. Зрителям нравилось, как непринужденно и как будто совсем по-настоящему играл Кожевников.
Несмотря на отсутствие актерского образования, на счету у Алексея около 100 работ в кино. Однако почти все они комедийные, а он всю жизнь мечтал сыграть серьезную драматичную роль.
Из-за своей скромности Кожевникову было сложно устроить свою личную жизнь, однако однажды он всё-таки был замечен в отношениях с Людмилой Ксенофонтовой. Но детей у актера так и не появилось.
Алексея Кожевникова не стало в 1986 году, причиной стало повышенное давление. К сожалению, он не оставил наследников, но оставил память и прекрасные фильмы с его участием.